BERNHARD RIEMANN: 

LA POTENCIA DE UN GENIO 

1. Una vida desgraciada pero intelectualmente intensa 

 Pocos matemáticos han ejercido una influencia tan grande como Riemann, cuya obra contribuyó a reformular la concepción de esta disciplina en su momento y en las décadas posteriores, además de crear nuevos dominios de trabajo. Pese a la brevedad de su vida, falleciendo a los 39 años, tuvo un desarrollo intelectual excepcional, entrando en el panteón de los más brillantes matemáticos de la historia. Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, en el reino de Hannover (Alemania), siendo el segundo de seis hijos en una familia humilde. Al poco tiempo de nacer Bernhard, la familia se trasladó a Quickborn, donde su padre tomó el cargo de pastor en la parroquia local.2 Hasta los 10 años estudió en casa, posteriormente fue al liceo en Hannover y Lüneburg, donde ya mostró aptitudes matemáticas, al leer las obras de análisis de Euler y Legendre que le prestaba el director del instituto. A los 19 años se matriculó en la mejor universidad del reino de Hannover, la universidad de Göttingen, para estudiar filología y teología, con el fin de seguir el camino de su padre y convertirse en pastor. Sin embargo, asistía a las clases de matemáticas de Stern y a las lecciones sobre el método de mínimos cuadrados que impartía el director del observatorio de Göttingen, que no era otro que el príncipe de las matemáticas, el mismísimo Gauss. Este interés por la matemática le hizo decidirse a solicitar el permiso de su padre para cambiar de facultad y comenzar a estudiar matemáticas. Para esta época su madre ya había fallecido, comenzando la serie de tragedias familiares que culminará con la muerte de todos sus hermanos siendo jóvenes y con la suya propia. Pese a la presencia de Gauss, Göttingen no era en la época el gran centro matemático que sería algunos años después, pues el cargo de Gauss era el de astrónomo y apenas impartía lecciones elementales. Así las cosas, Riemann se trasladó en 1847 a Berlín, para dedicarse completamente a la matemática, donde fue alumno de grandes figuras como Jacobi, Eisenstein, Steiner y, principalmente, Dirichlet. Permaneció en Berlín hasta 1849. En 1848 estalló la célebre revolución de marzo, de la que Riemann fue testigo activo al ser miembro del cuerpo de estudiantes, pues tuvo que hacer guardia frente al palacio real durante dos días. Tras el fracaso del parlamento de Frankfurt y el regreso del emperador, en 1849 Riemann vuelve a Göttingen, donde presenta su tesis doctoral en 1851 y acto seguido comienza a trabajar en su habilitación, que es el grado que le permitiría acceder al puesto de profesor. Los dos serán trabajos notables en teoría de funciones. El grado de habilitación exigía además la presentación de una conferencia, la cual será uno de los trabajos más célebres de Riemann acerca de la geometría y cuyo contenido comentaremos después. Durante este período, será asistente durante 18 meses del físico Wilhelm Weber, de hecho, sus intereses en esta época parecen apuntar hacia una carrera en física.

Tras su habilitación en 1854, trató, primero sin éxito, de conseguir un puesto de profesor, que finamente obtuvo en 1857 como profesor extraordinario y en 1859 como profesor ordinario. En esta época fallecen su padre, su hermano y dos de sus hermanas. Su trabajo como profesor le produce al mismo tiempo grandes alegrías e incomodidades. Parece ser que tenía una extrema timidez y esto le ocasionaba serios problemas para hablar en público. Sus dificultades y su capacidad de superación son expresadas en las cartas que escribe a su familia: Mi inicial timidez casi ha desaparecido y me acostumbro a pensar más en el auditorio que en mí y a leer en sus caras si puedo seguir adelante o tengo que explicar más las cuestiones.3 En 1862 se casa con Elise Koch, amiga de sus hermanas, pero poco después enferma de pleuresía, por lo que los recién casados viajan a Italia para que Bernhard pueda recuperarse en un clima templado. Sin embargo, nunca gozó de buena salud y la pleuresía acabó complicándose con la fatal tuberculosis que acabará con su vida. Al año siguiente regresa brevemente a Göttingen, pero enferma de nuevo y vuelve a Italia, donde en diciembre de 1863 nacerá su hija Ida. En el semestre de invierno de 1865-1866 vuelve de nuevo a Göttingen y recupera parte de su actividad, pero en junio de 1866 está otra vez gravemente enfermo y retorna a Italia, donde fallecerá en Selasca, junto al lago Maggiore el 20 de julio. Acerca de sus últimos momentos, su colega y amigo, el matemático Richard Dedekind, escribe: Incluso el día antes de su muerte trabajó en su última y por desgracia inconclusa obra, descansando bajo una higuera y con gran alegría ante la vista del hermoso paisaje. Su muerte fue muy suave, sin lucha o estremecimiento, parecía como si siguiera con interés la separación del alma del cuerpo. Su esposa tuvo que traerle pan y vino, él le dio recuerdos para los queridos y le dijo, da un beso a nuestra hija. Oró el Padre Nuestro, ya no podía hablar y en las palabras ‘perdona nuestras ofensas’ dirigió sus ojos creyentes al cielo. Ella sintió enfriarse su mano en la suya y, después de algunas respiraciones más, su puro y egregio corazón dejó de latir. (Dedekind, 1876: 18).

 

2. Concepción matemática: la ampliación del dominio numérico. 

 El nombre de Riemann es hoy familiar en numerosos dominios de las ciencias exactas. Geómetras y cosmólogos hablan de los espacios de Riemann o de la geometría riemanniana. Entre los matemáticos más puros es bien conocida la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann. E incluso, los divulgadores mencionan las superficies de Riemann. Todas estas contribuciones dan prueba de ese potente intelecto que realizó profundas aportaciones en dominios matemáticos fundamentales como el análisis, la teoría de funciones, la geometría y la topología. En su tesis doctoral Fundamentos para una teoría de Funciones de una variable compleja examina las propiedades geométricas de las funciones analíticas de una forma que fue muy elogiada por Gauss, afirmando que presentaba “una originalidad gloriosa y fértil”. En su trabajo para obtener la habilitación investigó sobre la representación de funciones por series trigonométricas, para describir su funcionamiento, definiendo ahí la famosa integral de Riemann. Posteriormente, continuó trabajando en la teoría de funciones, contribuyendo al dominio de funciones de variable compleja, que en la época era completamente nuevo. Es en este ámbito donde aparece la famosa función zeta y la hipótesis de Riemann, que constituye uno de los principales problemas matemáticos actualmente no resueltos. Se trata de una cuestión que atañe a los números complejos y la hipótesis es una conjetura sobre la distribución de los ceros en esa función. Resulta muy importante en teoría de números porque esta hipótesis se relaciona con cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los naturales. Pero más allá de aportaciones específicas, Riemann contribuyó a la creación de una nueva visión de la matemática que había empezado a conformarse en la transición del siglo XVIII al XIX con los trabajos de Gauss. Esa nueva visión supone que la matemática ya no será entendida solo como la ciencia general de las magnitudes, sino como un sistema de conceptos. Es decir, la matemática no es ya un conjunto de fórmulas y técnicas para resolver problemas de cálculo, sino una ciencia que define conceptos fundamentales y los sitúa al inicio de la teoría de tal manera que conformen un sistema (cf. Ferreirós, 1999: 31). Esto es lo que se entenderá como ‘pensar matemáticamente’ y será la corriente descrita por Dirichlet (1852: 245) como ‘la tendencia cada vez más prominente en el análisis moderno de reemplazar cálculos por pensamientos’. Ni que decir tiene que entender la matemática como un sistema conceptual supone un enfoque profundamente filosófico de sus fundamentos, y así el físico Wilhelm Weber afirmó que los matemáticos de Göttingen seguían “una orientación profundamente filosófica en la investigación matemática” 4. Este giro conceptual fructificará en años posteriores en una renovación de los fundamentos de la matemática que dará lugar a la famosa teoría de conjuntos. No podemos dejar de incluir en esta sucinta exposición de las contribuciones matemáticas de Riemann el campo abierto a partir de su lección de habilitación. Con el objetivo de obtener este grado académico, el postulante debía presentar una lección, para lo cual preparaba tres temas entre los que solía elegirse el primero. Los dos primeros temas propuestos por Riemann versaban sobre cuestiones de física matemática, sobre las cuales seguramente había estado trabajando en tanto que asistente de Weber. Contra la costumbre, Gauss decidió que Riemann expusiese el tercero: “Sobre las hipótesis en las que se fundamenta la geometría”. Podemos imaginar el clima en el que aconteció esta presentación a partir de las siguientes palabras de Freudenthal (1981: 448): el joven y tímido Riemann presentando ante el legendario anciano Gauss, que no pasaría de la siguiente primavera, acerca de consecuencias de ideas que el anciano debe haber reconocido como propias y que había cultivado secretamente hacía tiempo. Esta lección, que no será publicada hasta 1868 cuando Dedekind reciba los escritos de Riemann tras su muerte, tendrá importantes repercusiones en matemáticas, física y filosofía. En efecto, en ella la línea divisoria entre matemática y filosofía se vuelve difusa, no solo por el propio enfoque riemanniano, profundamente filosófico, sino también, por los temas abordados. La lección se divide en dos partes. En la primera, es donde aparecerá la definición de un espacio n-dimensional, que es lo que hoy conocemos como espacio de Riemann. Es aquí donde se introduce la noción de variedad o multiplicidad, un concepto básico de la geometría diferencial. Así, considera el espacio como una variedad de tres dimensiones “susceptible de diversas relaciones métricas”, es decir, la métrica ya no será lo fundamental, sino las propiedades topológicas (como continuidad y contigüidad). Se trata, en definitiva, de entender el espacio no como un recipiente, sino como una relación con los objetos que en él se encuentran, de manera que puedan definirse métricas a partir de esas relaciones. Las líneas más cortas, en lugar de ser las rectas de Euclides, son las geodésicas, que serán rectas euclídeas, si el espacio es plano; pero que serán curvas si el espacio es curvo, como los meridianos en la superficie de una esfera. La definición de esa ‘curvatura’ es, de hecho, el punto central de esa primera parte de la lección dehabilitación. Esa definición, conocida hoy como el tensor de curvatura, tiene su aplicación fundamental en la teoría general de la relatividad de Einstein, donde en cada punto, la curvatura del espacio varía en función de la materia que lo ocupa, como un colchón de lana en el que situamos un objeto pesado y este deforma la superficie del colchón. En la segunda parte de la lección es donde discute la relación entre la geometría y el mundo y plantea el problema profundamente filosófico de qué geometría describe el espacio. Las geometrías discutidas por Riemann que presentan la posibilidad de que la curvatura del espacio no sea constante, al contrario de lo que ocurre en el plano euclídeo, suponen el problema físico y filosófico de cómo es el espacio en el que vivimos. Hasta el siglo XIX y desde Euclides, la respuesta a esta cuestión parecía bastante obvia, vivimos en un espacio que se identifica con ese descrito por Euclides, donde la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta y los ángulos de un triángulo miden 180 grados. Es en este espacio en el que Newton describe su mecánica, que será el fundamento de la física hasta principios del siglo XX y este es el espacio considerado verdadero por los filósofos, el que Kant considera como dado a priori. A partir del siglo XIX, con los trabajos de Bolyai y Lobachevskii, conocidos por Gauss a principios de los años 1830, se empieza a cuestionar cuál es la verdadera geometría del espacio físico, pues estos autores plantearon geometrías alternativas a la euclídea. Las ideas de Riemann siguen y generalizan esta misma línea, al considerar la posibilidad de aplicar varias métricas y definir la curvatura en relación con los objetos que pueblan el espacio. En palabras del célebre Hermann Weyl: Riemann se manifiesta aquí en contra de la opinión mantenida hasta entonces por todos los matemáticos y filósofos de que la métrica del espacio viene dada independientemente de los procesos físicos que en él suceden, y de que lo real está instalado en ese espacio métrico como en un edificio de apartamentos.5 La profundidad de las ideas de Riemann impresionó al legendario Gauss, quien comentó su admiración a su amigo, el físico Weber. Si bien la lección de Riemann es un trabajo de gran dificultad por el modo en que está escrito, sus ideas no solo han generado un impacto indiscutible en matemáticas por la introducción de la noción de variedad, sino que aparecen en toda discusión sobre la naturaleza del espacio desde Helmholtz y Poincaré hasta nuestros días.

3. La física y la teoría unificada: una auténtica especulación teórica

Aunque Riemann se encuentra hoy situado en el panteón de los matemáticos y es en esta disciplina donde sus trabajos son más conocidos, realizó importantes aportaciones a la física. De hecho, hubo un tiempo en el que parece haber estado pensando en hacer carrera como físico a su regreso a Göttingen. Hay que tener en cuenta que en esta época se encontraban allí los físicos Weber y Listing y que fue asistente del primero durante varios meses. Weber es una figura de primera línea en la física del siglo XIX, entre sus aportaciones más conocidas se encuentra su teoría electromagnética, que será una alternativa a las ideas de Maxwell hasta que se reconozca el carácter ondulatorio de los fenómenos electromagnéticos con los experimentos de Hertz en 1885. Pero además de contribuciones teóricas, Weber era un reputado experimentalista y, sin duda, Riemann debió contribuir a varios de los experimentos. Como asistente, impartió además varios cursos sobre electricidad y magnetismo y, ya como profesor, sobre cuestiones de física matemática, concretamente sobre la aplicación de ecuaciones diferenciales a la física y lagravitación. Este curso fue muy admirado por los físicos debido a sus aplicaciones a la teoría del potencial. Una de sus principales publicaciones en física es sobre los anillos de Nobili, que son unos anillos de colores irisados que aparecen en soluciones salinas sobre una placa eléctrica al aplicar determinadas descargas eléctricas. Existen además otros trabajos en física, varios de ellos no terminados, que tratan acerca de cuestiones relativas a la teoría del calor, estudios de masas líquidas en rotación, sobre amplitud de ondas sonoras de magnitud finita, además de otros acerca de las conexiones entre la luz y la electricidad, que son considerados como importantes trabajos pre-maxwellianos. Pero quizá lo más destacado son sus propias ideas escritas en esa época –hacia 1853–, aunque no publicadas: Mi ocupación principal concierne a una concepción nueva de las conocidas leyes naturales –expresión de las mismas mediante otros conceptos básicos–, con lo que se hace posible emplear los datos experimentales sobre la interacción entre calor, luz, magnetismo y electricidad, para investigar su interrelación.6 En efecto, trata de buscar una teoría que unifique las fuerzas conocidas hasta el momento (fuerza eléctrica, fuerza magnética, fuerza gravitacional) y que explique las acciones por contigüidad. Es decir, Riemann niega explícitamente la posibilidad de acción a distancia, y sobre este hecho, cita elogiosamente la tercera carta de Newton al doctor Bentley, donde afirma: Que la gravedad fuera innata, inherente y esencial a la materia, de modo que un cuerpo pudiera actuar sobre otro a distancia a través del vacío, sin la mediación de nada más, por y a través de lo cual su acción y fuerza pueda ser llevada de uno a otro, es para mí un absurdo tan grande, que creo que ningún hombre que tenga una facultad de pensamiento competente en asuntos filosóficos podría nunca caer en él.7 Con esta idea, tratará de proponer una nueva teoría de la gravitación que explique la transmisión tanto de esta fuerza como de las otras a partir de la concepción de un plenum espacial que sea continuo y en el que toda acción se realice por contacto. Estas ideas que hoy nos suenan un tanto metafísicas y cercanas a la célebre ‘física del éter’ que Einstein vendrá a destruir con su teoría especial de la relatividad, tuvieron sus frutos teóricos en el XIX, pues la fuerza como acción a distancia nunca dejó de ser un caballo de batalla para los físicos, y será discutida por figuras tan importantes como Hertz y Kirchhoff, entre otros, ayudando a cuestionar los fundamentos de la mecánica newtoniana, lo que será fundamental para operar el cambio que ocurre a principios del siglo XX con los trabajos de Einstein.

4. Filosofía natural y teoría del conocimiento  

Pese a que Riemann es más bien conocido como matemático, en los apartados anteriores hemos ido mostrando cómo sus inclinaciones, su manera de pensar y de trabajar apuntan bastante hacia intereses filosóficos. De hecho, Freudenthal, en su biografía de Riemann, escribió: tenía una gran inclinación a la filosofía, en efecto era un gran filósofo. Si hubiera vivido más tiempo, los filósofos le reconocerían como uno de los suyos (Freudenthal, 1981: 450).En efecto, la obra de Riemann está plagada de intuiciones filosóficas, no solo en su concepción de la matemática conceptual y en sus intereses teóricos en una física unificada, sino también en el sentido de que, para Riemann, matemática, física y filosofía no se conciben como dominios separados. Para comprender el enfoque de Riemann estaría bien verlo como un filósofo natural à la Newton. De hecho, Newton es uno de los autores cuyo estudio provocó algunas de sus reflexiones más profundas. Así, se propuso escribir unos Nuevos principios matemáticos de la filosofía natural, título que refiere sin duda al de la obra más conocida del genio inglés. Comenzada en torno a 1853, quedó inconclusa, pero nos dejó claro su objetivo en esta obra: Penetrar en el interior de la Naturaleza, yendo más allá de los fundamentos de la astronomía y la física establecidos por Galilei y Newton (en Ferreirós, 2000: 114). Aquí pretende ocuparse de las relaciones entre materia y movimiento y, por supuesto, de los problemas ocasionados por las fuerzas a distancia que mencionamos en el epígrafe anterior. Pero además, el estudio de Newton no lo hace solo desde el punto de vista de los fundamentos de la física, sino que examina lo que podríamos llamar aspectos epistemológicos y metodológicos de la obra de Newton. En un fragmento que podría ser de la misma época que el anterior afirma: La palabra hipótesis tiene hoy un significado algo distinto que en Newton. Hoy solemos entender por hipótesis todo lo que el pensamiento añade a los fenómenos (en Ferreirós 2000: 103). Y añade:

No me parece admisible la distinción que hace Newton entre leyes del movimiento o axiomas e hipótesis. La ley de inercia es la hipótesis […] (Ferreirós 2000: 103).

 Su preocupación por la noción de hipótesis va a permear varios de sus escritos, tanto de los publicados, como su lección de habilitación, como de los no publicados. En esta visión de las hipótesis, además de una crítica a la concepción newtoniana resuenan dos fuentes importantes para Riemann. La primera es su maestro de física Weber, quien en una obra acerca de los fundamentos de la teoría ondulatoria habla de la imposibilidad de deshacerse de las hipótesis cuando se elaboran teorías acerca de la naturaleza, pues las solas leyes obtenidas de los fenómenos no bastan, advirtiendo, por supuesto, de la necesidad de comprobar estas hipótesis cuando sea posible (cf. de Paz & Ferreirós 2020, 154). La segunda fuente es el filósofo y pedagogo Herbart, que había sido profesor en Göttingen antes de la llegada de Riemann8 . En las obras de Herbart, la noción de reflexión –Nachdenken– es clave y es entendida no como un mero reflejo especular de lo recibido por los sentidos, sino como una elaboración intelectual. En esta línea, Riemann estaría elaborando lo que podríamos considerar como una epistemología gradualista, una teoría del conocimiento en la que se buscan hipótesis para explicar los fenómenos y se contrasta esa hipótesis o las consecuencias que de ella se deducen con los fenómenos: ¿Cuándo es verdadera nuestra concepción del mundo?: cuando la conexión entre nuestras representaciones se corresponde con la conexión entre las cosas (en Ferreirós, 2000: 101).Se trata, en definitiva, de corregir poco a poco nuestras concepciones a medida que vamos contrastándolas con la experiencia. Estas ideas reflejan lo que hoy se entiende como el moderno método hipotético-deductivo, por medio del cual se elaboran hipótesis a partir de experiencias con el objetivo de dar cuenta de ellas y después contrastar su fiabilidad experimentalmente. Así, poco a poco se elaboran conceptos y teorías que resulten cada vez más adecuados para la explicación de la naturaleza. Pues en palabras del propio Riemann: “la ciencia natural es el intento de comprender la naturaleza por medio de conceptos precisos” (en Ferreirós, 2000: 99). En el fondo, estas ideas expresan bien la famosa frase de Novalis, que invita a la comprensión de la naturaleza mediante hipótesis: “las hipótesis son redes, solo quien lance pescará”.

5. Religión y psicología  

Gracias a la semblanza biográfica escrita por Dedekind, sabemos que Riemann, educado en un ambiente religioso, conservó las ideas inculcadas en la infancia durante toda su vida, así es descrito como piadoso y fiel siervo de Dios, y para él, “el examen de conciencia diario ante Dios [era] esencial en su religión”. Es la suya una religiosidad íntima, que explica la existencia propia mediante la “percepción íntima” de las “leyes de los acontecimientos espirituales”. Según otro de sus biógrafos, Detlef Laugwitz (1999: 2), “quiere encontrar el universo reflejado en su alma como en una mónada leibniziana”. Esta religiosidad intimista encaja con muchos aspectos del carácter de Riemann, como su extrema timidez, su vida solitaria, su falta de confianza en sí mismo, etc. (cf. Laugwitz 1999, 28). Quizá es esta personalidad algo retraída la que le hace también preocuparse por cuestiones relacionadas con la naturaleza del alma y de las representaciones mentales. En este aspecto, intenta evitar la noción de representación por considerarla imprecisa e introduce la noción de ‘masa mental’, que se forma a partir de un ‘acto de pensamiento’. Considera así el alma como “una masa mental compactada” que aumenta “gracias a masas mentales entrantes y en ello descansa su perfeccionamiento”. Es decir, es como si el alma fuera perfectible mediante su relación con el mundo y es imperecedera e independiente de un substrato material (cf. Ferreirós 2000: XLIX). Estas son ideas complejas, que se relacionan con los intensos debates entre materialismo, mecanicismo y animismo que acontecieron a lo largo del siglo XIX y que hoy tal vez nos resulten algo ajenos, pero que son un profundo reflejo de las discusiones de la época y muestran las extensas preocupaciones de Riemann. De parte de estas ideas, acerca de la inmortalidad de la vida mental se ocupa en un breve fragmento titulado ‘Antinomias’, donde haciendo un claro guiño a Kant, bajo dos tesis opuestas sobre la finitud y la infinitud, expone tesis generales sobre la continuidad y discontinuidad del espacio y el tiempo, la libertad y el determinismo, la naturaleza de dios, y la inmortalidad. Todas estas inquietudes dan cuenta sin duda alguna, de las palabras de Freudenthal acerca de la potencia filosófica de Riemann, quien sin duda habría desarrollado estas profundas inquietudes, de no haberse marchado tan prematuramente.

6. Bibliografía  

• Cohen, I. B. ed., Newton’s Papers & Letters on Natural Philosophy, Harvard Univ. Press, 1958. 8

•  Dedekind, R. (1876). Bernhard Riemanns Lebenslauf. In Riemann, Gesammelte mathematische Werke, 2nd ed., Leipzig 1892 (pp. 541–558). Citada a partir de la traducción disponible gracias a J. Arias de Reyna en https://personal.us.es/arias/. de Paz, M. y Ferreirós, J. (2020) “From Gauss to Riemann through Jacobi. Interactions between the Epistemologies of Geometry and Mechanics?”, in de Paz, M. y Ferreirós, J. (eds.)

•  “Mathematics and Mechanics in the Newtonian Age”, Special Section, Journal for General Philosophy of Science, 51(1), 147-172. Dirichlet, G. P. (1852). . (2006). Riemann’s  “Riemann”, in Gillispie, C. C. Dictionary of scientific biography, New York, Scribner’s Sons, vol. 10, 447-456 Gray, J. J. (2019) Simply Riemann, Londres, Simply Charly. Laugwitz, D. (1999) Bernhard Riemann 1826-1866, Boston, Birkhäuser. Riemann, G. F. B. (1876).